作用量
作用量 \(S\) 是拉氏密度\(\mathcal{L}\) 在四维时空中的积分，
\[ S = \frac{1}{c}\int d^4x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi) \]
场的变分
对场的变分的贡献共来自两个方面，1、坐标无穷小变换；2、场自身的无穷小变换。下面分别讨论这两种情况。
1、坐标无穷小变换 \[ x^{\mu}\rightarrow x'^{\mu}= x^{\mu} + \delta x^{\mu} \]
通常谈论的场的变分是指坐标不变时的变分 \(\bar{\delta}\)， \[ \bar{\delta}\phi(x) = \phi'(x) - \phi(x) \] 根据标量场 \(\phi(x)\) 在坐标变换下的性质 \(\phi'(x')=\phi(x)\)，容易得到 \[ \bar{\delta}\phi = -\delta x^{\mu}\partial_{\mu}\phi \]
2、场自身的无穷小变换 在没有坐标变换的情况下，场 \(\phi\) 产生了一个无穷小变换。此时坐标不变时的变分为 \[ \bar{\delta}\phi = \phi'(x) - \phi(x) = \delta\phi \] 注意到这里用 \(\delta\) 表示场自身的变分。通常情况下遇到的变分就是这种情况。
3、一般情况 如果同时考虑到坐标变换以及场自身的变分，则标量场 \(\phi(x)\) 满足的性质需修改为 \[ \phi'(x') = \phi(x) + \delta\phi(x) \] 故坐标不变时的变分为 \[ \begin{aligned} \bar{\delta}\phi(x) &= \phi'(x) - \phi(x) \\ &= \phi(x-\delta{x}) + \delta\phi(x-\delta{x}) - \phi(x) \\ &\approx \delta\phi(x) - \delta{x^\mu}\partial_{\mu}\phi(x) \\ \end{aligned} \]
根据上述讨论可知，场自身的变分一般情况下并非坐标不变时的变分 (\(\bar{\delta} \neq \delta\))， 只有当不存在坐标变换的情况下两者才相等 (\(\bar{\delta} = \delta\))。
拉氏密度的变分
一般情况下，作为标量场的拉氏密度的坐标不变时的变分为 \[ \begin{aligned} \bar{\delta}\mathcal{L}(x) &= \mathcal{L}'(x) - \mathcal{L}(x) \\ &= \mathcal{L}(x-\delta x) - \delta\mathcal{L}(x-\delta x) - \mathcal{L}(x) \\ &= \delta\mathcal{L}(x) - \delta{x^\mu}\partial_{\mu}\mathcal{L} \\ &= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\bar{\delta}\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu}\phi}\bar{\delta}\partial_{\mu}\phi \end{aligned} \]
作用量的变分
\[ \begin{aligned} \delta S &= \int \delta(d^4 x)\mathcal{L} + \int d^4 x\, \delta{\mathcal{L}} \\ &= \int d^4x \left(\bar{\delta}\mathcal{L}+\delta x^{\mu}\partial_{\mu}{\mathcal{L}} + \mathcal{L}\partial_{\mu}\delta{x^\mu}\right) \\ &= \int d^4x \left(\bar{\delta}\mathcal{L} + \partial_{\mu}(\mathcal{L}\delta x^{\mu})\right) \\ &= \int d^4x \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\bar{\delta}\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu}\phi}\bar{\delta}\partial_{\mu}\phi + \partial_{\mu}(\mathcal{L}\delta x^{\mu})\right) \\ &= \int d^4x \left[\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_{\mu}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu}\phi}\right)\bar{\delta}\phi + \partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu}\phi}\bar{\delta}\phi+\mathcal{L}\delta x^{\mu}\right) \right] \end{aligned} \]
拉格朗日方程
假设坐标不变，只考虑场量的变分，则有 \[ \begin{aligned} & \bar{\delta}\phi = \delta\phi \\ & \delta x^{\mu} = 0 \end{aligned} \]
由表面项在4维时空边界上为零及变分 \(\bar{\delta}\phi\) 任意，作用量的变分取极值的条件给出拉格朗日方程 \[ \partial_{\mu}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu}\phi} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0 \]
诺特定理
若场 \(\phi(x)\) 满足拉格朗日方程，则作用量的变分为某个表面项的4维积分。若场在变换（包括坐标变换和自身变换）前后均满足拉格朗日方程，且保持作用量不变。则 由 \[ \delta S = \frac{1}{c} \int d^4x \partial_{\mu}j^{\mu} = 0 \] 以及 \[ j^{\mu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu}\phi}\bar{\delta}\phi + \mathcal{L}\delta x^{\mu} \] 得到一个对应该变换的守恒流 \(j^{\mu}\)。将 \(j^{\mu}\) 改写为 \[ j^{\mu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu}\phi}\delta\phi - \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu}\phi}\partial_{\nu} - \mathcal{L}g^{\mu}_{\nu}\right)\delta x^{\nu} \]
\(\delta\phi\) 和 \(\delta x^{\mu}\) 现在是保持拉格朗日方程不变的变换。
