结论：纵向无旋，横向无源
任意给定一个矢量函数 \(w(\boldsymbol{x})=(w_1(\boldsymbol{x}),w_2(\boldsymbol{x}),w_3(\boldsymbol{x}))\)。在傅立叶空间中，\(\boldsymbol{k}\)模式的系数\(w(\boldsymbol{k})=(w_1(\boldsymbol{k}),w_2(\boldsymbol{k}),w_3(\boldsymbol{k}))\) 可以分解为动量\(k\)的平行和垂直方向。
\[ w = w^{\parallel} + w^{\bot} \]
且有 \(w^{\parallel} // \boldsymbol{k}\) 及 \(w^{\bot}\cdot{\boldsymbol{k}} = 0\)
回到实空间中，发现 \(w(\boldsymbol{x})\) 可以分解为纵向和横向两部分，\(w^{\parallel}(\boldsymbol{x})\) 和 \(w^{\bot}(\boldsymbol{x})\)。分别有如下性质：
- 纵向无旋
\[ \nabla \times w^{\parallel}(\boldsymbol{x}) = 0 \]
- 横向无源
\[ \nabla \cdot w^{\bot}(\boldsymbol{x}) = 0 \]
投影算符
傅立叶空间中，\(\boldsymbol{k}\) 模的纵向（横向）投影算符分别为
\[ \begin{aligned} P^{\parallel}(\boldsymbol{k}) &= \boldsymbol{\hat{k}}\otimes\boldsymbol{\hat{k}} \\ P^{\perp}(\boldsymbol{k}) &= 1 - \boldsymbol{\hat{k}}\otimes\boldsymbol{\hat{k}} \\ \end{aligned} \] 或者分量表示 \[ \begin{aligned} P^{\parallel}_{ij}(\boldsymbol{k}) &= \boldsymbol{\hat{k}}_i\boldsymbol{\hat{k}}_j \\ P^{\perp}_{ij}(\boldsymbol{k}) &= \delta_{ij} - \boldsymbol{\hat{k}}_i\boldsymbol{\hat{k}}_j \\ \end{aligned} \]
